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LA VOZ DEL INGENIERO

En nosotros reside el anhelo De alcanzar la verdad y el saber Nuestras alas presienten el vuelo De la ciencia, el amor y el deber Que nos guíe la voz del INGENIERO A alcanzar el sublime ideal Y un mañana de luz será nuestro De la patria diadema triunfal Universidad Universidad Por nuestro raza el espíritu hablará Por nuestros hechos la gente recordarà. www.wix.com/HEISEMBER1/HEISEMBERG http://heisemberg.zoomblog.com/ http://projectos.zoomblog.com/ http://heisemberg.blogspot.es/1297710480/ http://heisemberg-sac.blogspot.com/ http://heisemberg-heisemberg.blogspot.com/

FORMULAS

AREAS Y VOLÚMENES

ALGEBRA LINEAL

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Propiedades: (At)t = A (A + B)t = At + Bt (A . B)t = Bt . At Matriz simétrica Aquella que coindice con su traspuesta At = A Matriz antisimétrica  Aquella que coindice con su traspuesta cambiada de signo At = - A A = 1/2 (A + At) + 1/2 (A - At)  Cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única en suma de una matriz simétrica más otra matriz antisimétrica Matriz adjunta Aa de una matriz cuadrada A Aquella matriz que resulta de sustituir cada uno de sus elementos de la matriz At por sus adjuntos respectivos  Adjunto del elemento aij  Es el determinante que resulta de eliminar la fila y la columna del elemento en cuestión, anteponiendo el signo (-1)i+j Matriz inversa de una matriz cuadrada y regular A  Verifica que: A . A-1 = A-1. A = I (matriz identidad) Cálculo: A-1 = Aa / det A Matrices definidas en el cuerpo de los números complejos Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo) Matriz asociada A* de una matriz A Conjugada de la traspuesta Matriz hermítica  A* = A Matriz antihermítica  A* = - A A = 1/2 (A + A*) + 1/2 (A - A*)  Cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única en suma de una matriz hermítica más otra matriz antihermítica Matriz unitaria Aquella matriz regular que A* = A-1 A . A* = A* . A = I En una matriz unitaria, la suma de los elementos de una fila o columna por sus conjugados es la unidad y la suma de los elementos de una línea por los conjugados de otra paralela es cero. El valor absoluto del determinante es la unidad. Potencias de matrices Matriz periódica de período p Aquella que verifica que Ap+1 = A (p ÎN) Matriz idempotente A2 = A (matriz períodica de período p =1 ) Matriz nilpotente Ap = (0) Matriz involutiva A2 = I Matriz ortogonal Aquella que la inversa coincide con la traspuesta: A-1 = At En una matriz ortogonal, la suma de los cuadrados de los elementos de cualquier fila o columna es la unidad y la suma de los productos de los elementos de una línea por los correspondientes de otra paralela es cero Su determinante es +1 o -1. Determinantes Se llama determinante de una matriz cuadrada A (n x n) a un polinomio cuyos sumandos son todos los posibles productos de n factores (factores que son elementos de A), de tal forma que en todo producto exista uno y solamente un factor de cada fila de A y uno y solamente un factor de cada columna. El signo de dichos productos es + ó - según que las permutaciones que indican los órdenes de las filas y de las columnas sean de la misma o distinta paridad. Determinante de una matriz 2x2 det A = a11 a22 - a12 a21 Determinante de una matriz 3x3 det A = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 - (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32) Propiedades de los determinantes - El valor de un determinante no varía si se cambian entre sí todas sus filas por sus columnas respectivas. - Si se cambian entre sí dos líneas paralelas el determinante cambia de signo. - Si se multiplican todos los elementos de una línea por un mismo número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. - Si a una línea le sumamos o restamos una combinación lineal de otras líneas paralelas, el determinante no varía. Determinante nulo:  Si todos los elementos de una línea son nulos el determinante es cero Si tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo. Si los elementos de una línea son múltiplos de otra paralelas el determinante es nulo. Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras paralelas entonces el determinante es nulo. det (A . B) = det A . det B Polinomios de matrices Ecuación característica de una matriz cuadrada det (A - x I) = 0 siendo I la matriz identidad. Toda matriz cuadrada tiene una sola ecuación característica. Polinomio característico de una matriz cuadrada p (x) = det (A - x I) Toda matriz cuadrada tiene un solo polinomio característico. El polinomio característico de una matriz descompuesta es el producto de los polinomios característicos de sus células diagonales. Polinomio característico de una matriz cuadrada de orden 2 p (x) = x2 - (traza A) x + det A Polinomio característico de una matriz cuadrada de orden 3 p (x) = - x3 + (traza A) x2 - [a11 a22 + a11 a33 + a22 a33 - (a12 a21 + a13 a31 + a23 a32)] x + det A Teorema de Cayley - Hamilton Toda matriz cuadrada A verifica su ecuación característica (sustituyendo x por A) Polinomio mínimo de una matriz cuadrada A Polinomio mónico correspondiente a la ecación matricial de grado mínimo que dicha matriz satisface. El polinomio mínimo de una matriz es único. El polinomio mínimo es un divisor del polinomio característico. El polinomio mínimo de una matriz descompuesta es el mínimo común múltiplo de los polinomios mínimos de sus células diagonales. Transformaciones elementales Transformaciones elementales de filas - Cambiar una fila por otra; multiplicar una fila por un escalar ó sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar (Lo mismo sucede para las columnas) - Estas tranformaciones no varían las dimensiones ni el rango de la matriz Matriz elemental Toda matriz cuadrada obtenida de la matriz I mediante operaciones elementales  Matrices equivalentes Dos matrices A y B son equivalentes si puede obtenerse una a partir de la otra. Tienen que tener igual dimensión y rango. Es suficiente que A y B tengan igual dimensión y rango para que sean equivalentes. Matrices semejantes Se dice que la matriz A es semejante a la B si existe una matriz cuadrada y regular Q tal que B = Q-1 A Q Todas las matrices semejantes tienen igual polinomio característico (igual traza y determinante) y mínimo. La condición necesaria y suficiente para que dos matrices sean semejantes es que ambas caractericen al mismo operador lineal en bases distintas. Matrices congruentes Se dice que la matriz A es semejante a la B si existe una matriz cuadrada y regular Q tal que B = Qt A Q - Las matrices semejantes y congruentes son equivalentes. - Para que dos matrices sean semejantes o congruentes, además de tener igual dimensión y rango, deben ser también matrices cuadradas. Sistemas de ecuaciones lineales.  Discusión de sistemas. Método de Rouché - Fröbenius Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos (m ecuaciones y n incógnitas: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Matriz A de los coeficientes (dimensiones: m x n):  A = [ [a11, a12, ...., a1n] , [a21, a22, ...., a2n] , ... , [am1, am2, ...., amn] ] (cada corchete representa una fila de la matriz)Matriz ampliada A+ de los coeficientes (dimensiones: m x n+1):  A = [ [a11, a12, ...., a1n, b1] , [a21, a22, ...., a2n, b2] , ... , [am1, am2, ...., amn, bm] ] Si rango (A) ¹ rango (A+)  ==> Sistema incompatible (No tiene solución) Si rango (A) = rango (A+) = r  ==> Sistema compatible (Tiene solución)  -  Si r = n  ==> Sistema compatible determinado (existe una única solución)  -  Si r < n  ==> Sistema compatible indeterminado (existen infinitas soluciones que vendrán dadas en función de n - r parámetros) Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0 ... an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = 0 A = A+  ==> rango (A) = rango (A+) = r  -  Si r = n  ==> Sistema incompatible (sólo existe la solución trivial, en la que todas las incógnitas valen cero)  -  Si r < n  ==> Sistema compatible indeterminado (existen infinitas soluciones que vendrán dadas en función de n - r parámetros) www.wix.com/HEISEMBER1/HEISEMBERG http://heisemberg.zoomblog.com/ http://projectos.zoomblog.com/ http://heisemberg.blogspot.es/1297710480/ http://heisemberg-sac.blogspot.com/ http://heisemberg-heisemberg.blogspot.com/

FORMULARIO DE MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS

a2 - b2 (a + b) (a - b) (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c (a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 3 (a2 b + a2 c + b2 a + b2 c + c2 a + c2 b) + 6 a b c Media aritmética entre a y b (a + b) / 2 Media geométrica entre a y b a . b / 2 Teorema de Pitágoras Triángulo recto de catetos a y b e hipotenusa c a2 + b2 = c2 Ecuación de primer grado: a x + b = 0  (a ¹ 0) Solución (una, real) x = - b / a Ecuación de segundo grado: a x2 + b x + c = 0  (a ¹ 0) Soluciones x1 = [- b + (b2 - 4 a c )1/2 ] / (2a) x2 = [- b - (b2 - 4 a c )1/2 ] / (2a) verificando que:  x1 x2 = c / a x1 + x2  = - b / a Binomio de Newton (a + b)m = am + m am-1 b1 + [m (m-1) / 2!] am-2 b2 + [m (m-1) (m-2) / 3!] am-3 b3 + ... (1+ x)m = 1 + m x + [m (m-1) / 2!] x2 + [m (m-1) (m-2) / 3!] x3 + ... (a + b)2 a2 + 2 a b + b2 (a - b)2 a2 - 2 a b + b2 (a + b)3 a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (a - b)3 a3 - 3 a2 b + 3 a b2 - b3 Triángulo de Tartaglia (o de Pascal) Representan los coeficientes del Binomio de Newton 0 1 1 1   1 2 1   2   1 3 1   3  3   1 4 1   4   6   4   1 5 1  5  10  10  5  1 6 1  6  15  20  15  6  1 Progresiones Aritméticas an = an-1 + d Término enésimo  an = a1 + (n - 1) d Suma de los n primeros términos  Sn = (a1 + an) n / 2 Interpolar m términos entre a y b  d = (b - a) / (m + 1) Geométricas an = an-1 . r Término enésimo  an = a1 . rn-1 Suma de los n primeros términos  Sn = a1 (rn - 1) / (r - 1) Suma de los ¥ términos  S¥ = a1 / (1 - r) para | r | < 1 Producto de los n primeros términos  P = [a1 an] n/2 Interpolar m términos entre a y b  r = (b / a)(1/(m+1)) Algunas funciones notables Valor absoluto | x |  x si x > 0 -x si x <0 Delta de Kronecker d i j = 1 si i = j = 0 si i ¹ j Función de Heaviside H (x) = 1 si x ³ 0 = 0 si x < 0 Signo de x sgn x =  1 si x > 0 =  0 si x = 0 = -1 si x < 0 Funciones pares e impares Función par f (-x) = f (x) Función impar f (-x) = - f (x) Longitudes, áreas y volúmenes Longitudes Longitud de una circunferencia de radio R 2 p R Áreas Cuadrado de lado a a2 Rectángulo de base b y altura h b h Triángulo de base b y altura h b h / 2 Triángulo rectángulo de catetos a y b  a b /2 Triángulo isósceles de lados iguales a y ángulo desigual a (a2 sen a) /2 Triángulo equilátero de lado a  a2 Ö3 / 4 Rombo de diagonales D y d D d / 2 Trapecio de bases B y b y altura h (B + b) h / 2 Círculo de radio R p R2 Corona circular de radio interior a y exterior b p (b2 - a2) Elipse de semiejes a y b p a b Superficie lateral de un cilindro de radio R y altura h 2 p R h Superficie de una esfera de radio R 4 p R2 Área lateral del cono p r g (donde g es la generatriz) Volúmenes Cubo de lado a a3 Ortoedro de lados a, b y c a b c Pirámide de altura h y área de la base B B h / 3 Esfera de radio R 4 p R3 / 3 Elipsoide de semiejes a, b y c 4 p a b c / 3 Cilindro de radio R y altura h p R2 h Cono recto de radio R y altura h p R2 h / 3 Potencias ab . ac = ab+c (ab)c = abc Logaritmos log ab = c  ac = b log ab = b log a log (a . b) = log a + log b log (a / b) = log a - log b Números complejos i2 = -1 Forma binómica z = a + i b  donde a es la parte real y b la parte imaginaria Forma polar r[q] Paso de forma binómica a forma polar r = [a2 + b2]1/2 q = arc tg (b/a) Paso de forma polar a forma binómica a = r cos q b = r sen q Forma trigonométrica y exponencial z = a + i b = r[q] = r cos q + i r sen q = r eiq Complejo conjugado z* = a - i b  Fórmula de Euler eiq = cos q + i sen q Operaciones con números complejos Sean z1 =  a1 + i b1 =  r1 [q1] ; z2 =  r2 [q2] =  a2 + i b2 Suma z1 + z2 =  [a1 + a2] +  i [b1 + b2] Diferencia z1 - z2 =  [a1 - a2] +  i [b1 - b2] Producto z = z1 . z2 =  r1 r2 [q1 + q2] Cociente z = z1 / z2 =  r1 / r2 [q1 - q2] Algunas constantes (con 4 decimales) p 3.1416 e 2.7183 ln 2 0.6931 ln 3 1.0986 21/2 1.4142 31/2 1.7321

CONSTANTE INTERNACIONAL

Constantes físicas fundamentales Unidad de masa atómica 1.6605402 . 10-27 kg Constante de Avogadro NA 6.0221367 . 1023 mol-1 Radio de Bohr ao 0.529177249 . 10-10 m Constante de Boltzman k 1.380658 . 10-23 J/K Radio clásico del electrón 2.81794092 . 10-15 m Masa del electrón me 9.1093897 . 10-31 kg Carga elemental e 1.60217733 . 10-19 C Constante de Faraday F 96485.309 C/mol Constante de estructura fina 7.29735308 . 10-3 Constante molar de los gases R 8.314510 J / mol K Constante de gravitación universal G 6.67259 . 10-11 m3 / kg s2 Volumen molar de un gas ideal en c.n. 22.41410 . 10-3 m3 / mol Magnetón de Bohr µB 9.2740154 . 10-24 J / T Masa del neutrón mn 1.6749286 . 10-27 kg Permeabilidad del vacío µo 4 PI 10-7=12.566370614... 10-7 N / A2 Permitividad del vacío 8.854187817... 10-12 F / m Constante de Planck h 6.6260755 . 10-34 J s Masa del protón mp 1.6726231 . 10-27 kg Constante de Rydberg R 1.0973731534 . 107 m-1 Velocidad de la luz en el vacío c 299792458 (exacto) m / s Constante de Stefan - Boltzmann 5.67051 . 10-8 W / m2 K4 Constante de la ley de desplazamiento de Wien 2.897756 . 10-3 m K 0ºC de la escala Celsius To 273.15 1 atmósfera 1.0325 105 Pa Magnitudes astronómicas cuerpo radio medio (m) masa  (kg) densidad media (kg/m3) periodo de rotación  sobre su eje (días) Sol 6.95 108 1.97 1030 1.41 103 25.4 Tierra 6.37 106 5.96 1024 5.52 103 1 Luna 1.74 106 7.30 1022 3.30 103 27.3 Otras medidas unidad astronómica 1.495598 1011 m distancia Tierra-Sol 1 u.a. distancia Tierra-Luna 3.843902 108 m Día sideral ¨(período de rotación de la Tierra) 8.616409055 104 s Intensidad de la gravedad en la superficie de la Tierra (N/kg) a 0º (Ecuador) a 15º a 30º a 45º a 60º a 75º a 90º (Polo) 9.78049 9.78394 9.79338 9.80629 9.81924 9.82873 9.83327 Calor latente sustancia cambio de fase kJ/kg kcal/kg agua fusión 334 79.7 ebullición 2261 539.6 mercurio fusión 11.82 2.82 ebullición 272.35 65 etanol fusión 104 24.9 ebullición 854.8 204 bromo ebullición 183 43.7 nitrógeno ebullición 199.4 47.6 plomo fusión 24.55 5.86 cobre fusión 175 42 helio ebullición 25.1 6.0 Densidad de algunas sustancias sólidos kg/m3 líquidos kg/m3 aluminio 2700 agua 1000 cobre 8800 benceno 880 hierro 7800 alcohol etílico 790 níquel 8900 keroseno 800 cobalto 8900 aceite de ricino 790 oro 19300 glicerina 1200 plata 10500 agua pesada 1100 platino 21400 mercurio 13600 plomo 11300 gases en c.n. kg/m3 cinc 7000 hidrógeno 0.090 estaño 7400 oxígeno 1.43 hielo 900 nitrógeno 1.25 sodio 970 aire 1.293 grafito 1600 cloro 3.21 diamante 3500 dióxido de carbono 1.98 titanio 4500 amoníaco 0.77 cocho 200 metano 0.72 Resistividad de algunos conductores en W m material a 0ºC a 20ºC cobre 1.7 10-8 1.7 10-8 aluminio 2.53 10-8 2.8 10-8 hierro 8.7 10-8 10 10-8 plomo 2.2 10-7 2.2 10-7 mercurio 9.4 10-7 9.6 10-7 nicrón 1 10-6 1 10-6 acero 1.0 10-7 Permitividad relativa de algunos dieléctricos aire baquelita vidrio pyrex mica 1.00059 4.9 5.6 5.4 papel plexiglás porcelana agua 3.7 3.4 7 81 Período de semidesintegración de isótopos radiactivos Z isótopo partícula T 27 cobalto-60 b 5.2 años 38 estroncio-90 b 28 años 84 polonio-210 a 138 días 86 radón-222 a 3.8 días 88 radio-226 a 1620 años 92 uranio-238 a 4.5 109 años Alfabeto griego Alpha A a Iota I i Rho R r Beta B b Kappa K k Sigma S s Gamma G g Lambda L l Tau T t Delta D d Mu M m Upsilon Epsilon E e Nu N n Phi F f Zeta Z z Xi Chi a a Eta H h Omicron Psi Y y Theta Q q Pi P p Omega W w

S.I

Unidades básicas MASA kilogramo kg El kilogramo equivale a la masa del kilogramo patrón internacional. LONGITUD metro m El metro equivale a 1650763.73 veces la longitud de onda de la radiación emitida por los átomos del nucleido 86Kr, en la transición entre el estado 5d5 y el estado 2p10, propagándose en el vacío. TIEMPO segundo s El segundo equivale a 9192631770 veces el período de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles de la estructura hiperfina del estado fundamental de los átomos de nucléido 133Cs. CORRIENTE  ELÉCTRICA amperio A El amperio equivale a la intensidad de una corriente eléctrica constante en el tiempo que, al circular en el vacío por dos conductores paralelos situados a un metro de distancia, rectilíneos e infinitos, de sección circular y despreciable, da lugar a una fuerza de atracción mutua entre los conductores de 2 x 10-7 neutronios por metro. INTENSIDAD  LUMINOSA candela cd La candela es la intensidad de luz que emite 1/600000 metros cuadrados de la superficie de un cuerpo negro a una temperatura correspondiente a la solidificación del platino a una presión de 101325 neutronios por metro cuadrado, y perpendicular a su superficie. CANTIDAD DE  SUSTANCIA mol mol El mol equivale a la cantidad de materia de un sistema constituido por tantas partículas como átomos contiene 12/1000 kilogramos de nucleido del carbono 12C. TEMPERATURA  TERMODINÁMICA kelvin K El kelvin equivale a la 273.16-ava parte de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (aprox. 0.01 ºC) Unidades suplementarias ÁNGULO PLANO radian rad ÁNGULO SÓLIDO estereoradian sd Unidades derivadas con nombres especiales FUERZA newton N kg m /s2=J/m ENERGÍA julio J kg m2/s2=N m POTENCIA watio W kg m2/s3=J/s

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